نهاية دوال عددية

نهايات دوال - تمارين
التالي


تمرين01
نعتبر الدالة f المعرفة على





〕∞ +, 1 - 〔 بـ :

f (x) = ( 3x - 2 ) / (x + 1 )
01
〕2 .9 , 3 .1 〔 ينتمي إلى المجال f(x) فإن X > A حيث إذا كان A أوجد عددا حقيقيا
02
f الممثل للدالة ( Cf )مقارب للمنحني y = 3 بين أن المستقيم ( D ) الذي معادلته
03
( D) بالنسبة إلى المستقيم (Cf) أدرس وضعية
إجابة
01
2. 9< f(x) < 3.1
2.9 < 3x - 2 < 3.1
4.9 < 3x < 5.1
4.9 / 3 < x < 5.1 / 3
A = 4.9 / 3

02
( D ) لنثبت أن المستقيم
f منحني الدالة (Cf) معادلة له مستقيم مقارب لـ y = 3 الذي
lim f(x) = lim (3x-1) / (x+ 1 ) = lim (3 x /( x + 1 ) ) = 3
| x| -->+∞ x|-->+∞ |x|-->+∞
lim [f(x) - 3 ] = بالتالي 0
|x|-->+ ∞
(Cf) معادلة له مستقيم مقارب لـ y = 3 إذن المستقيم(D ) الذي
02 طريقة
lim [f(x) - 3 ] = lim(- 4 /( x + 1) ) = 0
|x|-->+ ∞ |x|-->+ ∞
03
( D ) بالنسبة إلى المستقيم (Cf) دراسة وضعية
f(x) - 3 < 0 : ] -1 , + ∞ [من المجال x من أجل كل
(D ) يقع أسفل المستقيم ( Cf) المنحني
ملاحظة
لوضع تخمين للنتائج السابقة (Cf) يمكن استخدام أحد راسمات المنحنيات لإنشاء
هو جزء من المنحني التالي(Cf)

تمرين 02
] - ¥, 1[ المعرفة على المجال f نعتبر الدالة
f (x) = ( x + 1 ) / (x - 1 ) : بـ
01
〕0 .9 , 1 .1 〔 ينتمي إلى المجال f(x) فإن X < A حيث إذا كان A أوجد عددا حقيقيا
02
f الممثل للدالة ( Cf )مقارب للمنحني y = 1 بين أن المستقيم ( D ) الذي معادلته
03
( D) بالنسبة إلى المستقيم (Cf) أدرس وضعية
إجابة
نتبع خطوات مشابهة للتي اتبعناها في التمرين السابق

تمرين 03
المعرفة على المجال[ ¥ +, 2 [ كما يلي f لتكن الدالة
f(x) = 1 / [√ (x- 2 ) ]
01
على شاشة حاسبة بيانية f للدالة (Cf) الشكل التالي هو التمثيل البياني

إلى 2 ؟ x عندما يؤول f ماذا تخمن بالنسبة إلى سلوك الدالة
02
عدد حقيقي موجب تماما A
؟ f(x) < A بحيث يكون xفي أي مجال يجب اختيار
اثبت صحة التخمين السابق
03
؟ (Cf) معادلة له بالنسبة إلى المنحني Y =2 ماذا يمكن القول عن المستقيم الذي

01
إلى 2 x عندما يؤول f التخمين الذي يمكن وضعه بالنسبة إلى سلوك الدالة
lim f(x) =+ ∞
x>2
x--> 2
f(x)> A فيه بحيث يكون xالمجال الذي يجب اختيار
1 / [√ (x- 2 ) ] > A يكافئ f(x) > A
1 / [√ (x- 2 ) ] ≥ A يكافئ f(x) ≥ A
1 / (x- 2 )≥ A 2 يكافئ f(x) ≥ A
0 < X - 2 ≤ 1/ (A2) يكافئ f(x) ≥ A
2 < X ≤ 2 + 1 / (A2) يكافئ f(x)≥ A
X &Icirc; ] 2, 2 + 1 / (A2)]
≤

إثبات صحة التخمين
] 2 , 2 + 1 / (A2) ] من أجل كل مجال
[ A ,+ ¥ [ يوجد مجال Xيشمل
f(X) يشمل جميع قيم
إدن
lim f(x) = + ∞
x>2
x--> 2
f منحني الدالة (Cf) معادلة له هو مستقيم مقارب لـx = 2 بالتالي ، المستقيم الذي
تمرين 03
يطلب تعيينها بـ Df المعرفة على مجموعة x دالة عددية للمتغير الحقيقي f
f(x) = x2 + 1 / (x + 2 ) 2
f امنحني الدالة (Cf) باستعمال حاسبة بيانية أو أحد راسمات المنحنيات ، أنشئ
عند حدود مجالي تعرفها؟ f ما هي المخمنة التي يمكن وضعها بالنسبة إلى نهايات الدالة
f باستعمال العمليات أدرس نهايات الدالة
؟ f ماذا يمكن القول عن منحني الدالة المربع بالنسبة إلى منحني الدالة
إجابة
Df =｛ x&Icirc; R : x+2¹ 0｝
= R -｛ x &Icirc;R : x + 2 = 0｝
= R -｛ -2｝
] - ∞ , -2 [u ] -2 , + ∞[




واللون الأزرق يمثل منحني الدالة المربع (Cf) في الرسم أعلاه اللون الأحمر يمثل
يتبين أنه f بملاحظة منحني الدالة
سالبا وقيمته المطلقة كبيرة بقدر كاف x كبيرا بقدر ما نريد عندما يكون f(x) يمكن جعل
موجبا وكبيرا بقدر كافx كبيرا بقدرما نريد عندما يكون f(x) كما يمكن جعل
lim f(x) = + ∞ : أي
|x|--> +∞

- قيما قريبة من العدد 2x كبيرا بقدر ما نريد عندما يأخذ f(x) يمكن جعل
بقدر كاف
lim f(x) = + ∞ : أي
x--> -2

باستعمال العمليات على النهايات و التأكد من صحة التخمين السابق f(x) دراسة نهايات
lim x2 = + ∞

|x| --> + ∞
lim( x +2)2 = + ∞

|x| --> + ∞

lim 1 / ( x +2)2 = 0

|x| --> + ∞
إذن

lim[ x2 +1 / ( x +2)2 ]= + ∞

|x| --> + ∞
limf( x ) = + ∞ بالتالي

|x| --> + ∞

lim x2 = + 4

x --> - 2
lim( x +2 ) 2 = 0

x --> -2
( x +2 ) 2 > 0 و
lim 1 / ( x +2 ) 2 = + ∞ إذن
x --> -2
بالتالي
lim ( x2 + 1 / ( x +2 ) 2 )= +∞
x --> -2
أي
lim ( f(x) )= + ∞
x --> -2
lim ( f(x) - x2 ) = lim 1 / ( x +2 ) 2 = 0 لدينا
| x| --> + ∞ |x| --> + ∞
f منحني الدالة المربع هو منحن مقارب لمنحني الدالة

تمرين 05
أحسب النهايات التالية
lim √｛(3 - 6x) / ( 1 - x ) ｝
x> 1
x--> 1
lim √｛(3x + 4 ) / (x - 3 ) ｝
x> 3
x--> 3

lim √｛x2 + x +1｝

x--> +∞
lim √｛-2x3 + x - 3｝

x--> -∞
إجابة
01
lim (3 - 6x) = -3
x> 1
x--> 1

lim (1 - x) = 0
x> 1
x--> 1
1 - x < 0 يكافئ x> 1
lim 1 / (1 - x) = - ∞ إذن
x> 1
x--> 1
lim ( 3 - 6x ) ×｛1 / (1 - x)｝ = + ∞ بالتالي
x> 1
x--> 1
ومنه
lim √｛(3 - 6x) / ( 1 - x ) ｝= + ∞
x> 1
x--> 1



lim (3x + 4) = 13
x> 3
x--> 3

lim (x - 3) = 0
x> 3
x--> 3
x - 3 > 0 يكافئ x> 3
lim 1 / (x - 3 ) = + ∞ إذن
x> 3
x--> 3
lim ( 3x + 4) ×｛1 / (x- 3)｝ = + ∞ بالتالي
x> 3
x--> 3
ومنه
lim √｛(3x + 4) / ( x - 3 ) ｝= + ∞
x> 3
x--> 3
lim √｛x2 + x +1｝حساب

x--> +∞
lim ｛x2 + x +1｝= lim x2 = +∞

x--> +∞ x--> +∞
بالتالي
lim √｛x2 + x +1｝= + ∞

x--> +∞
lim √｛-2x3 + x - 3｝حساب
x--> - ∞

lim ｛- 2x3 + x -3｝= lim (- 2 x3 ) = +∞

x--> - ∞ x--> - ∞
بالتالي
lim √｛-2x3 + x - 3｝= +∞
x--> - ∞

تمرين
] -2 , 2 [ هي الدالة المعرفة على المجالf
f(x) = -3 / √ (4 - x2 ) :بـ
. ] - 2 , 2 [ عند f أحسب نهايتي الدالة
إجابة
01
lim (4 - x2) = 0
x>-2
x-->-2
lim √(4 - x2) = 0
x>-2
x-->-2
lim 1 / √(4 - x2) = +∞
x-- > -2
x --> -2

02
lim (4 - x2) = 0
x<2
x-->2
lim √(4 - x2) = 0
x<2
x-->2
lim 1 / √(4 - x2) = +∞
x -- >2

lim (- 3 ) / √(4 - x2) = - ∞
x -- >2